Usos en la vida cotidiana de los números complejos

Un número complejo es ese número que comprende una parte real y una parte imaginaria.

Está escrito principalmente en la forma a + bi, donde “a” son números reales, e “i” es la unidad imaginaria con “b” como también la parte real de la porción imaginaria con la propiedad i2 = â’1.

Los números complejos se usan principalmente en las técnicas de ingeniería eléctrica todo el tiempo, porque las transformadas de Fourier se usan para comprender las oscilaciones y el comportamiento de las ondas que ocurren tanto en la corriente alterna como en las señales moduladas.

Los problemas bidimensionales que involucran la ecuación de Laplace (por ejemplo, flujo de calor, flujo de fluidos, electrostática) a menudo se resuelven usando análisis complejo, en particular mapeo conformal

Los números complejos se usan en el mundo real literalmente en TODAS PARTES.

El análisis complejo (transformación o mapeo) también se usa cuando lanzamos un satélite y aquí en la Tierra tenemos el plano z, pero en el espacio también tenemos el plano w. Entonces, para estudiar varios factores usamos la transformación.

APLICACIÓN Y USOS DEL NÚMERO COMPLEJO:

Los ingenieros usan números complejos al estudiar las tensiones y tensiones en los rayos y al estudiar las resonancias en estructuras tan diferentes como los edificios altos y los puentes colgantes. Los números complejos aparecen cuando vemos los valores propios y vectores propios de una matriz. Los valores propios son las raíces de la ecuación polinómica asegurada relacionada con una matriz. Las matrices pueden ser bastante grandes, posiblemente 100000 por 100000, y los polinomios relacionados que son de muy alto grado. Los números complejos se usan para estudiar la corriente de líquidos alrededor de los obstáculos, como el flujo alrededor de una tubería.

Los matemáticos practican números complejos de muchas maneras, pero una forma es aprender series infinitas, como

ez = 1 + z + z2 / 2! + z3 / 3! + z4 / 4! + …,

Donde z = x + i * y es una ecuación compleja. Este es un “entorno natural” para aprender la serie que en la franja real. Estamos interesados en una declaración que proviene de la serie anterior: es que

e (i * pi) = -1.

Esta breve ecuación cuenta cuatro de los coeficientes más importantes en matemáticas, e, i, pi y 1. Nuestra calculadora puede cambiar de números complejos. Es posible que podamos formar eso

e (i * t) = cos (t) + i * sin (t),

De lo que sigue el resultado final anterior. Solo deja que t = pi.

Usamos números complejos en los siguientes usos:

EN INGENIERÍA ELÉCTRICA

El más avanzado, por ejemplo, donde usamos “números complejos” como ocasionalmente recibe el nombre de ingeniería eléctrica, donde se usan números imaginarios para realizar un seguimiento de la amplitud y fase de una oscilación eléctrica, como una señal de audio o la tensión eléctrica y corriente que alimentan los electrodomésticos. Los números complejos se usan mucho en electrónica. El principal objetivo de esto es que hacen que todo el tema del análisis y la comprensión de las señales alternas sea mucho más fácil. Esto parece extraño al principio, ¡ya que el concepto de usar una combinación de números reales e “imaginarios” para explicar las cosas en el mundo real parece una locura! Sin embargo, una vez que te acostumbras a ellos, hacen muchas más cosas. El problema es entender lo que “significan” y cómo usarlos en primer lugar. Para ayudarlo a tener una idea clara de cómo se usan y qué significan, podemos ver un ejemplo mecánico …

La animación de arriba muestra una rueda giratoria. En la rueda hay una burbuja azul que da vueltas y vueltas. Cuando se ve “plano”, podemos ver que la burbuja se mueve en un círculo a un ritmo constante. Sin embargo, si miramos la rueda desde un lado obtenemos una imagen muy diferente. Desde el lado, la mancha parece oscilar hacia arriba y hacia abajo. Si trazamos un gráfico de la posición de la mancha (vista desde el costado) contra el tiempo, encontramos que traza una forma de onda sinusoidal que oscila a través de un ciclo cada vez que la rueda completa una rotación. Aquí, el comportamiento de onda sinusoidal que vemos cuando miramos desde un lado “oculta” el comportamiento subyacente que es una rotación continua.

Ahora podemos revertir el argumento anterior cuando se considera a.c. oscilaciones (onda sinusoidal) en circuitos electrónicos. Aquí podemos considerar los voltajes y las corrientes oscilantes como “vistas laterales” de algo que en realidad está “girando” a un ritmo constante. Solo podemos ver la parte “real” de esto, por supuesto, así que tenemos que “imaginar” los cambios en la otra dirección. Esto nos lleva a la

idea de que la tensión o corriente de oscilación que vemos es solo la porción “real” de una cantidad “compleja” que también tiene una parte “imaginaria”. En cualquier momento lo que vemos está determinado por un ángulo de fase que varía suavemente con el tiempo

La rotación suave ‘oculta’ por nuestra vista lateral significa que este ángulo de fase varía a una velocidad constante que podemos representar en términos de la frecuencia de la señal, ‘f’. La versión compleja completa de la señal tiene dos partes que podemos sumar juntas siempre que recuerde etiquetar la parte imaginaria con una ‘i’ o ‘j’ para recordarnos que es imaginaria. Tenga en cuenta que, como ocurre con frecuencia en ciencia e ingeniería, hay varias formas de representar las cantidades de las que estamos hablando aquí. Por ejemplo: los ingenieros usan una ‘j’ para indicar la raíz cuadrada de menos uno, ya que tienden a usar ‘i’ como una corriente. ¡Los matemáticos usan ‘i’ para esto ya que no conocen una corriente de un agujero en el suelo! Del mismo modo, a veces verá la señal escrita como un exponencial de un número imaginario, a veces como una suma de un coseno y un seno. A veces, el signo en la parte imaginaria puede ser negativo. Estas son todas las convenciones ligeramente diferentes para representar las mismas cosas. (Un poco como la forma en que la corriente “convencional” y el flujo de electrones real van en direcciones opuestas) La elección no importa siempre que seas consistente durante un argumento específico.

Ahora podemos considerar las corrientes y tensiones oscilantes como valores complejos que tienen una parte real que podemos medir y una parte imaginaria que no podemos. Al principio parece inútil crear algo que no podemos ver o medir, pero resulta útil de varias maneras.

ANÁLISIS DE SEÑALES

Los números complejos se utilizan en el análisis de señal y otros campos para una descripción conveniente para señales que varían periódicamente. Para funciones reales dadas que representan cantidades físicas reales, a menudo en términos de senos y cosenos, se consideran las funciones complejas correspondientes de las cuales las partes reales son las cantidades originales. Para una onda sinusoidal de una frecuencia dada, el valor absoluto | z | de la z correspondiente es la amplitud y el argumento arg (z) de la fase.

NÚMERO IMAGINARIO EN LA VIDA REAL:

Dado que los números complejos a menudo se llaman “números imaginarios”, a menudo se vuelven sospechosos, vistos como juguetes de los matemáticos. Esto está lejos de la verdad, aunque no es fácil de probar. Si pasas algún tiempo en una biblioteca de la universidad buscando en revistas de física, ingeniería y química, o mediante libros en estas disciplinas, encontrarás muchas aplicaciones de complejos

números. Pero esto es difícil, ya que los usos a menudo están enterrados bajo una gran cantidad de terminología.

Los números complejos entran en los estudios de los fenómenos físicos de formas inesperadas. Existe, por ejemplo, una ecuación diferencial con coeficientes como a, b y c en la fórmula cuadrática, que modela cómo se comportan los circuitos eléctricos o los sistemas forzados de resorte / amortiguador. Un automóvil equipado con amortiguadores y que pasa por un bache es un ejemplo de este último. El comportamiento de las ecuaciones diferenciales depende de si las raíces de un cierto cuadrático son complejas o reales. Si son complejos, entonces se pueden esperar ciertos comportamientos. Estas son a menudo solo las soluciones que uno quiere.

Al modelar el flujo de un fluido alrededor de varios obstáculos, como alrededor de una tubería, el análisis complejo es muy valioso para transformar el problema en un problema mucho más simple.

Cuando se analizan los sistemas económicos o las grandes estructuras de vigas ensambladas con remaches para la resistencia, se usan matrices muy grandes en la modelación. Los valores propios y vectores propios de estas matrices son importantes en el análisis de tales sistemas. El carácter de los autovalores, ya sean reales o complejos, determina el comportamiento del sistema. Por ejemplo, resonará la estructura bajo ciertas cargas. En el uso diario, las computadoras industriales y universitarias pasan una gran parte de su tiempo resolviendo ecuaciones polinomiales. Las raíces de tales ecuaciones son de interés, ya sean reales o complejas.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *